Katholische Argumentation:

Matthäus 16, 13 Als aber Jesus in die Gegend von Cäsarea Philippi gekommen war, fragte er seine Jünger und sprach: Für wen halten die Leute mich, den Sohn des Menschen?

14 Sie sprachen: Etliche für Johannes den Täufer; andere aber für Elia; noch andere für Jeremia oder einen der Propheten.

15 Da spricht er zu ihnen: Ihr aber, für wen haltet ihr mich?

16 Da antwortete Simon Petrus und sprach: Du bist der Christus, der Sohn des lebendigen Gottes!

17 Und Jesus antwortete und sprach zu ihm: Glückselig bist du, Simon, Sohn des Jona; denn Fleisch und Blut hat dir das nicht geoffenbart, sondern mein Vater im Himmel!

18 Und ich sage dir auch: Du bist Petrus, und auf diesen Felsen will ich meine Gemeinde bauen, und die Pforten des Totenreiches sollen sie nicht überwältigen.

19 Und ich will dir die Schlüssel des Reiches der Himmel geben; und was du auf Erden binden wirst, das wird im Himmel gebunden sein; und was du auf Erden lösen wirst, das wird im Himmel gelöst sein.

Die Katholische Kirche sagt nun, dass in Vers 18 mit "Felsen" Petrus gemeint sei und bezieht die Petrus gegebene Vollmacht in Vers 19 auf die ganze Katholische Kirche.

Widerlegung:

In Vers 13 fragt Jesus Seine Jünger für wen Ihn die Leute halten. Nachdem Seine Jünger darauf geantwortet haben, fragt Er nach ihrer Meinung. Diese Fragen stellt Jesus nicht einfach so. Er möchte auf etwas hinaus. Das wird klar, als Petrus antwortet, dass Jesus der Christus, der Sohn des lebendigen Gottes ist.

Jesus betont in Seiner Antwort darauf zwei Dinge:

18 Und ich sage dir auch: Du bist Petrus, und auf diesen Felsen will ich meine Gemeinde bauen, und die Pforten des Totenreiches sollen sie nicht überwältigen.

Das ist zweifelsohne eine auffällige Aussage. Doch setzt Jesus Petrus wirklich mit "diesem Felsen" gleich? Wie schon gesagt, hat Jesus die zweifache Frage nach Seiner Identität nicht ohne Grund gestellt. Jesus bezeichnet sich selber als den Felsen, bezogen auf die Antwort von Petrus in Vers 16.

Das gr. Wort für Petrus lautet "petros" und bedeutet "Stein", während das gr. Wort für "Felsen" ("petra") "großer Stein", "Fels", "Felsengebirge" bedeutet.

Wenn man also wörtlich übersetzt, sagt Jesus:

 Du bist Stein, und auf diesen Felsen will ich meine Gemeinde bauen.

Spätestens jetzt wird klar, dass Jesus mit der Betonung auf Petrus(Stein) und Felsen zwischen Petrus und dem Felsen unterscheidet. Warum Jesus überhaupt den Namen des Petrus so explizit nennt, wird in Vers 19 klar:

19 Und ich will dir die Schlüssel des Reiches der Himmel geben; und was du auf Erden binden wirst, das wird im Himmel gebunden sein; und was du auf Erden lösen wirst, das wird im Himmel gelöst sein.

Jesus gibt Petrus die Vollmacht zu binden und zu lösen. Das kann sich jedoch nicht darauf beziehen, dass mit Petrus die Gemeinde Jesu gebaut wird, denn mit Schlüsseln schließt man auf und zu - man baut nicht mit ihnen.

Petrus Vollmacht bestand darin, Menschen(im Namen Jesu) zuzusagen, dass sie gerettet sind oder verloren gehen:

Apostelgeschichte 2, 37 Als sie aber das hörten, drang es ihnen durchs Herz, und sie sprachen zu Petrus und den übrigen Aposteln: Was sollen wir tun, ihr Männer und Brüder?

38 Da sprach Petrus zu ihnen: Tut Buße, und jeder von euch lasse sich taufen auf den Namen Jesu Christi zur Vergebung der Sünden; so werdet ihr die Gabe des Heiligen Geistes empfangen.

39 Denn euch gilt die Verheißung und euren Kindern und allen, die ferne sind, so viele der Herr, unser Gott, herzurufen wird.

Petrus sichert ihnen das Heil zu und garantiert die Gabe des Heiligen Geistes, macht in Vers 39 aber auch klar, dass diese Zusage auf Gottes Verheißung beruht und nicht aus Petrus Eigenem kommt.

Weitere solcher Beispiele finden sich in Apostelgeschichte 8 und 10.

Dass Petrus nicht dieser Felsen ist, findet sich auch in seinem Brief:

1. Petrus 2, 4 Da ihr zu ihm gekommen seid, zu dem lebendigen Stein, der von den Menschen zwar verworfen, bei Gott aber auserwählt und kostbar ist,

5 so lasst auch ihr euch nun als lebendige Steine aufbauen, als ein geistliches Haus, als ein heiliges Priestertum, um geistliche Opfer darzubringen, die Gott wohlgefällig sind durch Jesus Christus.

6 Darum steht auch in der Schrift: »Siehe, ich lege in Zion einen auserwählten, kostbaren Eckstein, und wer an ihn glaubt, soll nicht zuschanden werden«.

7 Für euch nun, die ihr glaubt, ist er kostbar; für die aber, die sich weigern zu glauben, gilt: »Der Stein, den die Bauleute verworfen haben, gerade der ist zum Eckstein geworden«,

8 ein »Stein des Anstoßes« und ein »Fels des Ärgernisses«. Weil sie sich weigern, dem Wort zu glauben, nehmen sie Anstoß, wozu sie auch bestimmt sind.

Petrus bezeichnet Jesus als den Stein und Felsen("petra" - V. 8) der die Grundlage bildet. Weiter bezeichnet er die Gläubigen(also sich eingeschlossen) als lebendige Steine in diesem Bau. Petrus hebt sich in keiner Weise hervor, sondern setzt den Fokus ganz auf Jesus.

Hätte Jesus tatsächlich Petrus als den Felsen bezeichnet, hätte Jesus ganz unmissverständlich "Du bist Petrus und auf dich will ich..." sagen können.

Petrus hatte zwar eine leitende Position in der Jerusalemer Gemeinde, doch steht an keiner Stelle in den Briefen, dass Petrus der Stellvertreter Gottes für alle Christen oder Ähnliches sei.

In der Bibel wird nur einer genannt, der den Christen übergeordnet ist - und das ist Gott, bzw. Jesus:

Kolosser 1, 18 Und er(Jesus) ist das Haupt des Leibes, der Gemeinde, er, der der Anfang ist, der Erstgeborene aus den Toten, damit er in allem der Erste sei. 

Epheser 5, 23 ...wie auch der Christus das Haupt der Gemeinde ist; und er ist der Retter des Leibes.